Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Решение. Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде: Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем Элементы математической статистики Процесс познания окружающего нас мира включает наблюдение и эксперимент.

Пример Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Решение. Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R. Используя параметрические уравнения окружности получаем Далее воспользуемся тригонометрической формулой Тогда криволинейный интеграл I1 равен Теперь вычислим двойной интеграл: В полярных координатах он становится равным Как видно, I1 = I2.

Пример

(положим тогда

) =

=

Пример

(положим тогда

) =

Замечание. Примеры, рассмотренные в п.4 можно было решить методом замены переменной, используя подстановку вида

Так, например, (положим тогда

) =

Вычислим используя подстановку

Имеем Тогда

.

 Векторы и действия над ними.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор  (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

(5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

Векторы можно складывать и если =+, где (2,3,5) а  (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2(-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается  и считается по формуле

 =

для (2,3,5)

  ||=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат ,, - единичные векторы (орты) положительных направлений осей И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов    называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2, 3, 5- компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

 Скалярным произведением вектора  на вектор  называется число (,) = , где угол между и .

В координатной форме

(,) =  - т.е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат

  =

таким образом

==

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

= , значит

  =

Векторным произведением  на  называется вектор, обозначаемый  или

и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2)  перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и  составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Геометрические приложения криволинейных интегралов