Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Решение. Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде: Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем Элементы математической статистики Процесс познания окружающего нас мира включает наблюдение и эксперимент.

Пример Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Решение. Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R. Используя параметрические уравнения окружности получаем Далее воспользуемся тригонометрической формулой Тогда криволинейный интеграл I1 равен Теперь вычислим двойной интеграл: В полярных координатах он становится равным Как видно, I1 = I2.

Пример

(положим тогда

) =

=

Пример

(положим тогда

) =

Замечание. Примеры, рассмотренные в п.4 можно было решить методом замены переменной, используя подстановку вида

Так, например, (положим тогда

) =

Вычислим используя подстановку

Имеем Тогда

.

 Векторы и действия над ними.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор  (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

(5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

Векторы можно складывать и если =+, где (2,3,5) а  (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2(-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается  и считается по формуле

 =

для (2,3,5)

  ||=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат ,, - единичные векторы (орты) положительных направлений осей И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов    называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2, 3, 5- компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

 Скалярным произведением вектора  на вектор  называется число (,) = , где угол между и .

В координатной форме

(,) =  - т.е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат

  =

таким образом

==

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

= , значит

  =

Векторным произведением  на  называется вектор, обозначаемый  или

и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2)  перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и  составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика