Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).

Решение. В соответствии с формулой Грина находим Следовательно, Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл Среди графических рассмотрим метод Эйлера. Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х).

Пример Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).

Решение. В соответствии с формулой Грина запишем Следовательно, Найдем уравнения сторон квадрата: Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных. Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно Тогда и интеграл имеет значение
Рис.5 Рис.6

Метод интегрирования по частям

Пример

=

=

Лабораторная работа № 6. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.

 В случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно или способ его решения слишком сложен, решение такого уравнения следует искать в виде ряда Тейлора .Коэффициенты ряда  находят подстановкой ряда в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях   в обеих частях полученного равенства. Если удаётся найти все коэффициенты ряда, то полученный ряд служит решением во всей своей области сходимости. Этим способом можно интегрировать линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

Пример 10. Решить задачу Коши для уравнения .

Сначала разложим правую часть в степенной ряд по степеням x, т.к. у нас

 

Будем искать решение уравнения в виде ряда .

Тогда 

Из начальных условий находим . Подставим полученные ряды в исходное уравнение +

+

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

…………………….

Решая эту систему, находим:

Получаем искомое решение в виде ряда или .

Геометрические приложения криволинейных интегралов