Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2).

Решение. Применим формулу Грина Очевидно, здесь Следовательно, Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

Пример С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3). Метод интегрируемых комбинаций – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда и из первого уравнения , т.е. – общее решение СДУ.

Решение. В заданном криволинейном интеграле , так что Тогда по формуле Грина получаем Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом
Рис.3Рис.4

Пример

=

= =

=

Замечание. При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где – многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' ''

В интегралах вида

за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Лабораторная работа № 5. Применение степенных рядов к вычислению определённых интегралов.

Для приближённых вычислений неопределённых и определённых интегралов, в случае, когда первообразная не выражается через элементарные функции или её нахождение сложно, применяются степенные ряды.

 Пусть требуется вычислить  с заданной точностью. Подынтегральную функцию  раскладываем в ряд по степеням x в интервале , который включает в себя отрезок . Для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться теоремой о почленном интегрировании степенного ряда. Ошибка вычислений определяется так же, как и при вычислении функций.

Пример 9. Вычислить  с точностью 0,001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена в интервале

 

Интегрируя обе части равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим

. Так как , а , то погрешность по модулю меньше первого отброшенного члена (ряд Маклорена Лейбнецкого типа). Получим

Геометрические приложения криволинейных интегралов