Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2).

Решение. Применим формулу Грина Очевидно, здесь Следовательно, Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

Пример С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3). Метод интегрируемых комбинаций – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда и из первого уравнения , т.е. – общее решение СДУ.

Решение. В заданном криволинейном интеграле , так что Тогда по формуле Грина получаем Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом
Рис.3Рис.4

Пример

=

= =

=

Замечание. При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где – многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' ''

В интегралах вида

за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Лабораторная работа № 5. Применение степенных рядов к вычислению определённых интегралов.

Для приближённых вычислений неопределённых и определённых интегралов, в случае, когда первообразная не выражается через элементарные функции или её нахождение сложно, применяются степенные ряды.

 Пусть требуется вычислить  с заданной точностью. Подынтегральную функцию  раскладываем в ряд по степеням x в интервале , который включает в себя отрезок . Для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться теоремой о почленном интегрировании степенного ряда. Ошибка вычислений определяется так же, как и при вычислении функций.

Пример 9. Вычислить  с точностью 0,001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена в интервале

 

Интегрируя обе части равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим

. Так как , а , то погрешность по модулю меньше первого отброшенного члена (ряд Маклорена Лейбнецкого типа). Получим

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика