Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Решение. Сначала запишем компоненты векторного поля и определим частные производные: Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде В последнем равенстве двойной интеграл численно равен площади круга , то есть . Тогда интеграл равен

Пример Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки. Пространство переменных СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

Решение. Запишем компоненты векторного поля и их производные: Тогда где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:
Рис.1 Рис.2

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример . Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда или .

Пусть х=-1, тогда или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай . Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 1. Пусть в задаче №3

 Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат  и .Точке r = 0 соответствует полюс 0.

 По условию задач угол φ может меняться от 0 до 2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы . При этом r>0 (r0), т.к. числитель соответствующей дроби 4>0. отсюда знаменатель этой дроби также должен удовлетворять неравенству

2-3cos φ > 0 или cos φ < 2/3.

 Решаем последнее неравенство

cos φ = 2/3 0,667;

0,667 +2πk, kN; φ =.

 В промежуток  попадают два значения φ1= и φ2 = -.

 Отсюда для  cos φ<2/3.

 Следовательно допустимые значения φ принадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т.е. ОДЗ: .

 Результаты расчетов заносим в таблицу

φ

3π/8

π/2

5π/8

6π/8

7π/8

π

9π/8

10π/8

11π/8

12π/8

13π/8

cosφ

0.38

0

-0.38

-0.71

-0.92

-1

-0.92

-0.71

-0.38

0

0.38

r

4.75

2

1.27

0.97

0.84

0.8

0.84

0.97

1.27

2

4.75

 Строим чертеж ,откладывая на луче , проведенном из полюса О под определенным углом φ, соответствующие значения радиус-вектора r из таблицы

 


 

 rl(φ)

 

 

 Для перехода к системе 0ху воспользуемся формулами. Имеем, следовательно

r (2-3cos φ)=4, 

 

 Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ : для φ >0.

Следовательно 3х+4>0. Отсюда ОДЗ: х>-4/3.

 Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:

4х2+4у2=9х2+24х+16;

(5х2+24х)-4у2+16=0;

5(х2+2;

(х+12/5)2-4/5у2-144/25+16/5=0;

(х+12/5)2-4у2/5=64/25

  Окончательно получаем уравнение гиперболы

  х > -

с центром в точке С(-12/5;0), а = 8/5, b = 4/.

 Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку . Заменяя переменные

=х+12/5,  =у,

получим в новой системе координат  уравнение гиперболы с центром в

Получим координаты фокусов, уравнения асимтот и эксцентриситет гиперболы:

 

  или ,

Переходим в старую систему координат. Имеем:

  .

Следовательно:

F1(x;y)=F1(=F1(-24/5;0);

F2(0;0), у = +

 Совмещаем начало О системы координат Оху с полюсом, отмечаем координаты фокусов F1 и F2, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямой х=-4/3 не удовлетворяют ОДЗ х>-4/3.

  

Более подробное описание кривых второго порядка смотрите в [1] гл.3; в [2] §24.

В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика