Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить объем эллипсоида .

Решение. Для нахождения объема используем формулу Поверхность эллипсоида можно представить в параметричсекой форме следующим образом: (Переменные u,v соответствуют сферическим координатам ψ и θ.) В формуле для объема векторное поле имеет координаты , поэтому Поскольку то получаем следующее выражение для поверхностного интеграла Следовательно, объем эллипсоида равен

Найти асимптоты и построить график функции .

 

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота. Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

 

2) Наклонные асимптоты:

 

 

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 

Построим график функции:

ПАРАБОЛА

Если уравнение имеет вид:

 , где >0, то линия называется параболой ( каноническое 

 уравнение параболы) 

,-координаты вершины параболы; При ==0 (,0 ) - фокус параболы ; прямая

  - директриса параболы.

На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная , но и полярная система координат.

Зададим точку О -полюс, ось Z содержащую точку О и единицу длины оси Z.

Возьмем произвольную точку М плоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстоянием r от О до М (полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между лучом OM и лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.

 

 

Геометрические приложения криволинейных интегралов