Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью .

Решение. Исследуем сначала пересечение двух заданных поверхностей. Приравнивая координаты z, получаем уравнение Пусть x2 + y2 = t2. Тогда В контексте данной задачи смысл имеет лишь корень t = 1, то есть Итак, обе поверхности пересекаются при z = 1, и сечение представляет собой круг (рисунок 10)
Рис.10Рис.11

Интегральный признак Коши Тройные и двойные интегралы при решении задач

Область интегрирования сверху ограничена параболоидом , а снизу − конусом (рисунок 11). Для вычисления объема области перейдем к цилиндрическим координатам: В результате находим

Задача. Найти , где - граница тела.

Решение. Это тело представляет собой конус. состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Свести СДУ к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где - проекция на плоскость , т.е. - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: ( - якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

 

К задачам 231 – 240.

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

  (1)

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M0 – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,

  и

 – определитель второго порядка.

Если D>0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если D<0, то экстремума в точке M0 нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

Пример. Найти экстремумы функции z = x3 + y3 – 6xy.

Решение. Найдем стационарные точки данной функции. Для этого находим частные производные функции z = x3 + y3 – 6xy, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

.

Получили две стационарные точки: М1(0; 0), М2(2; 2). Выясним, есть ли в этих точках экстремумы. Находим частные производные второго порядка.

.

1) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М1:

.

Находим определитель :

.

Поскольку D < 0, то экстремума в точке М1 нет.

2) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М2.

.

Определитель .

Поскольку D > 0 и А > 0, то М2 – точка минимума.

zmin = z(2, 2) = 8 + 8 – 24 = − 8 .

Ответ: zmin = z(2, 2) = − 8 .

 

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика