Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Решение. Площади заданной поверхности равна Переходя к полярным координатам, находим ответ:

Пример Найти площадь полусферы радиуса R.

Решение. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде где (рисунок 1). Вычислим дифференциальный элемент площади. Найдем векторное произведение данных векторов: Следовательно, элемент площади будет равен Отсюда вычисляем площадь полусферы:

Рис.1		Рис.2

Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

  Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора . 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Выполните следующие задания :

2.1 Найти угол между прямыми

  и

2.2 Даны уравнение двух сторон параллелограмма (АВ) и (АD) и точка пересечения его диагоналей N(1,2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

ЗАДАНИЕ №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

В примере №2 уравнения были линейными( т.е.функция являлась многочленом первой степени), линия- прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функции может выступать и многочлен второй степени

 

такое уравнение – уравнение линии второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

 

то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса). Точка  -центр эллипса. Точки (±,0),(0, ±) называются вершинами эллипса.

  (<) – расстояние от центра до фокусов

Если ==0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки (-,0) и (,0) –левый и правый фокусы эллипса.

Число   называется эксцентриситетом эллипса.