Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Решение. Площади заданной поверхности равна Переходя к полярным координатам, находим ответ:

Пример Найти площадь полусферы радиуса R.

Решение. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде где (рисунок 1). Вычислим дифференциальный элемент площади. Найдем векторное произведение данных векторов: Следовательно, элемент площади будет равен Отсюда вычисляем площадь полусферы:
Рис.1 Рис.2

Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

  Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора . 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Выполните следующие задания :

2.1 Найти угол между прямыми

  и

2.2 Даны уравнение двух сторон параллелограмма (АВ) и (АD) и точка пересечения его диагоналей N(1,2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

ЗАДАНИЕ №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

В примере №2 уравнения были линейными( т.е.функция являлась многочленом первой степени), линия- прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функции может выступать и многочлен второй степени

 

такое уравнение – уравнение линии второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

 

то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса). Точка  -центр эллипса. Точки (±,0),(0, ±) называются вершинами эллипса.

  (<) – расстояние от центра до фокусов

Если ==0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки (-,0) и (,0) –левый и правый фокусы эллипса.

Число   называется эксцентриситетом эллипса.

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика