Геометрические приложения поверхностных интегралов
Пример Вычислить площадь поверхности части параболоида
Решение. Площади заданной поверхности равна, лежащей выше плоскости xy.
Переходя к полярным координатам, находим ответ:
![]()
Пример Найти площадь полусферы радиуса R.
Решение. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в видегде
(рисунок 1). Вычислим дифференциальный элемент площади.
Найдем векторное произведение данных векторов:
Следовательно, элемент площади будет равен
Отсюда вычисляем площадь полусферы:
![]()
Рис.1 Рис.2 Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора
. В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора
.
=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2
.
Далее определяем модуль этого вектора:
=
Находим частные производные функции z в общем виде:
Значения этих величин в точке А :
Для нахождения направляющих косинусов вектора
производим следующие преобразования:
=
За величину
принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора
:
cosa =
; cosb = -
Окончательно получаем:
- значение производной заданной функции по направлению вектора
.
Выполните следующие задания :
2.1 Найти угол между прямыми
и
2.2 Даны уравнение двух сторон параллелограмма
(АВ) и
(АD) и точка пересечения его диагоналей N(1,2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.
ЗАДАНИЕ №3
Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству
=0 является линией.
В примере №2 уравнения были линейными( т.е.функция
являлась многочленом первой степени), линия- прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функции
может выступать и многочлен второй степени
![]()
такое уравнение – уравнение линии второго порядка.
ЭЛЛИПС
Если уравнение имеет вид
![]()
то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса). Точка
-центр эллипса. Точки (±
,0),(0, ±
) называются вершинами эллипса.
(
<
) – расстояние от центра до фокусов
Если
=
=0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки (-
,0) и (
,0) –левый и правый фокусы эллипса.
Число
называется эксцентриситетом эллипса.