Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.

Решение. Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле Вычислим криволинейные интегралы Следовательно, объем тела равен

Пример Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10).

Рис.10 
Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R)

равен .

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при

Пример 1. Задан отрезок , где (-2,5), (4,17).

Определить координаты точки  , расстояние от которой до точки  в два раза больше, чем расстояние до точки.

По условию задачи

Координаты точки  нам неизвестны, но она делит отрезок  в отношении .

Итак , =2

   

Искомая точка имеет координаты

Геометрические приложения криволинейных интегралов