Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2 (рисунок 7).

Решение. Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла. Найдем отдельно каждый из интегралов. Следовательно, плошадь заданной области равна

Пример Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде (рисунок 8).

Решение. 1) Применим сначала формулу . Получаем Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:
Рис.8 Рис.9

  Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

Ввиду симметрии относительно осей координат можно вычислить площадь части фигуры, расположенной в первой четверти и результат умножить на 4. Здесь выгодно перейти к полярным координатам. Уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид:  или  Найдём область определения данной функции. Так как

  то   и .

При   получим , т.е. правая петля лемнискаты,

при   получим (левая петля).

Получаем

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика