Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2 (рисунок 7).

Решение. Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла. Найдем отдельно каждый из интегралов. Следовательно, плошадь заданной области равна

Пример Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде (рисунок 8).

Решение. 1) Применим сначала формулу . Получаем Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:
Рис.8 Рис.9

  Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

Ввиду симметрии относительно осей координат можно вычислить площадь части фигуры, расположенной в первой четверти и результат умножить на 4. Здесь выгодно перейти к полярным координатам. Уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид:  или  Найдём область определения данной функции. Так как

  то   и .

При   получим , т.е. правая петля лемнискаты,

при   получим (левая петля).

Получаем

Геометрические приложения криволинейных интегралов