Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 6).

Решение. Используем соотношение Длина кардиоиды выражается в виде Заметим, что при , и при . Следовательно, Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.
Рис.6 Рис.7

Подстановки Эйлера

1)      Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

2)      Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

3)      Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(xx1)(xx2), то интеграл вида  рационализируется подстановкой  

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Пример 1.

 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  

Из рисунка видно, что внутренний интеграл целесообразно брать по x, а внешний по y. При другом порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов. Найдём точки пересечения прямой с параболой. Решая систему уравнений, находим A(0;2) и B(8;-6). Переменная y изменяется от -6 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если их решить относительно x:

Таким образом,

Геометрические приложения криволинейных интегралов