Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить длину параболы в интервале .

Решение. Применяя формулу находим, что Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение В результате длина кривой равна Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей. Следовательно, Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты Таким образом,

Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Лабораторная работа №1. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь плоской области D, находится по формуле

Или в полярных координатах  .

Если область D определена, например, неравенствами  

то  

Если область D определена неравенствами  то 

Если в полярных координатах область D определена неравенствами    то 

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика