Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить длину астроиды .

Решение. Астроида показана выше на рисунке 4. В силу симметрии, достаточно вычислить длину кривой, лежащей в первом квадранте, и затем умножить результат на 4. Уравнение астроиды в первом квадранте имеет вид Тогда и, следовательно, Таким образом, длина всей астроиды равна

Пример Найти длину пространственной кривой, заданной параметрически в виде , где .

Решение. Используя формулу получаем

Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 К задачам 451 − 460. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами  и , если ее значения 0, 1, 2, … , n и вероятность  вычисляется по формуле Бернулли:

  , k = 0, 1, 2, … , n , где q = 1 − p .

Случайную величину Х, имеющую биномиальное распределение с параметрами р и n , можно рассматривать как число наступлений случайного события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых случайное событие А наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1 − р .

Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами p и n, где , то при большом числе испытаний n и малой вероятности p для вычисления вероятности  применяется формула Пуассона

,  где .

Абсолютная погрешность формулы Пуассона не превосходит . Если это число не является малым, то для вычисления вероятности  нужно использовать локальную теорему Муавра − Лапласа, согласно которой

 ,

где  − плотность распределения случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение.

 Интегральная теорема Муавра − Лапласа дает формулу для приближенного вычисления вероятности :

,

где   ,   и  − функция Лапласа.

 Заметим, что функция Лапласа является нечетной, т.е.   для любого х.

Функция Лапласа табулирована. Укажем ее некоторые значения.

0

0

1,64

0,4495

0,4

0,1554

1,65

0,4505

0,6

0,2257

1,84

0,4671

0,8

0,2881

1,96

0,4750

1

0,3413

2,5

0,4938

1,5

0,4332

4

0,499968

Если , то .

Геометрические приложения криволинейных интегралов