Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти длину кривой при условии .

Решение. Запишем функцию в виде или . Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой (рисунок 3). Длина кривой равна
Рис.3Рис.4

Пример Вычислить длину астроиды .

Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

 y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

 Пример. Дана плотность распределения

случайной величины Х. Найти неизвестный параметр с , а также функцию распределения, медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

 Решение. Найдем неизвестный параметр с из условия .

Поскольку плотность распределения должна быть неотрицательной, то .

  Найдем функцию распределения. Для этого рассмотрим несколько случаев.

1)  ;

2)   ;

3)  ;

4)   .

 

 Найдем медиану. Если или , то уравнение  решений не имеет. Пусть , тогда ,

Следовательно,  .

  .

 Ответ:

 

Геометрические приложения криволинейных интегралов