Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника
http://provinamira.ru

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Решение. Определим сначала линию пересечения поверхностей. Подставляя уравнение параболоида в уравнение сферы, находим: Второй корень z2 = −3 соответствует пересечению сферы с нижней полостью параболоида. Этот случай мы не рассматриваем. Таким образом, перечение тел происходит при z = 2. Очевидно, что проекция области интегрирования на плоскость Oxy имеет вид окружности (рисунок 8), заданной уравнением x2 + y2 = 2.
Рис.8 Рис.9

Интегрирование по частям Тройные и двойные интегралы при решении задач

Сверху область интегрирования ограничена сферической поверхностью, а снизу − параболоидом (рисунок 9). Объем данной области выражается интегралом Удобно перейти к цилиндрическим координатам: где ρ2 = x2 + x2 и интеграл включает якобиан ρ. Получаем: Заменим ρ2 = t. Здесь t = 0 при ρ = 0, и, соответственно, t = 2 при ρ = √2. Окончательно вычисляем объем тела:

Поверхностные интегралы 2-го рода.

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке .

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде . Тогда . Вычисляем частные производные от этой функции в точке :

;

.

Искомое уравнение касательной плоскости запишется в виде  или .

Нормаль перпендикулярна касательной плоскости. Следовательно, нормальный вектор =(−5;3;−1) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Канонические уравнения нормали будут иметь вид

  .

Ответ:  – уравнение касательной плоскости,

  – уравнения нормали.

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика