Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить площадь сферы радиуса a.

Решение. Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле Найдем частные производные. Подставляя найденные производные, получаем Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна

  Пример. Найти производную функции

 

Пример 7. Найти длину кривой .

В данном случае целесообразно перейти к заданию кривой в полярных координатах.

Уравнение окружности имеет вид .

.

Замечание Уравнение  или  задаёт окружность с центром в точке (1;0) и радиусом R=1. Известно, что длина окружности равна .

Геометрические приложения криволинейных интегралов