Геометрические приложения двойных интегралов
Пример Вычислить площадь сферы радиуса a.
Решение. Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид
Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле
Найдем частные производные.
Подставляя найденные производные, получаем
Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты.
Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна
![]()
Пример. Найти производную функции
Пример 7. Найти длину кривой
.
В данном случае целесообразно перейти к заданию кривой в полярных координатах.
Уравнение окружности имеет вид
.
.
Замечание Уравнение
или
задаёт окружность с центром в точке (1;0) и радиусом R=1. Известно, что длина окружности равна
.