Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить объем единичного шара.

Решение. Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть . Тогда . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем Таким образом, оьъем единичного шара равен

Пример Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15).

Решение.
Рис.15 Рис.16

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать Следовательно, Тогда объем конуса равен

Тройной интеграл. Его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Лабораторная работа № 5. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов.

Для вычисления значения функции  при  с заданной точностью функцию в интервале  разлагают в степенной ряд . Точное значение  равно сумме этого ряда при , а приближённое – частичной сумме , т.е. . Точность этого равенства увеличивается с ростом n, а абсолютная погрешность равна  где

Таким образом, для оценки погрешности нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются подобрать положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. Обычно это бесконечно убывающая прогрессия. В качестве оценки  берут величину остатка этого нового ряда. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка .

Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена ,  где

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика