Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить объем единичного шара.

Решение. Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть . Тогда . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем Таким образом, оьъем единичного шара равен

Пример Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15).

Решение.
Рис.15 Рис.16

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать Следовательно, Тогда объем конуса равен

Тройной интеграл. Его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Лабораторная работа № 5. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов.

Для вычисления значения функции  при  с заданной точностью функцию в интервале  разлагают в степенной ряд . Точное значение  равно сумме этого ряда при , а приближённое – частичной сумме , т.е. . Точность этого равенства увеличивается с ростом n, а абсолютная погрешность равна  где

Таким образом, для оценки погрешности нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются подобрать положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. Обычно это бесконечно убывающая прогрессия. В качестве оценки  берут величину остатка этого нового ряда. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка .

Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена ,  где

Геометрические приложения криволинейных интегралов