Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.
Рис.9 Рис.10
Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

Пример Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.
Рис.11 Рис.12

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен Вычислим полученные три интеграла отдельно. Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно, (Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте). Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен Наконец, вычислим третий интеграл. Таким образом, объем тела равен

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции - непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть - непрерывная на функция. Тогда

Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Лабораторная работа №3. Вычисление площади поверхности.

Если поверхность задана уравнением  и её проекция на плоскость  есть область D, то площадь поверхности вычисляется по формуле  или . .

  Аналогично, если поверхность задана уравнением , то 

, где  проекция поверхности  на плоскость . Если уравнение поверхности имеет вид   то , где  проекция поверхности  на плоскость .

 

 

Пример 6. Найти площадь части конуса , заключённой внутри цилиндра Находим частные производные из уравнения конуса: ; .

Областью интегрирования D является круг, ограниченный окружностью   или , то есть центр окружности в точке (1;0) и радиус равен 1.

Двойной интеграл удобнее считать в полярных координатах. Окружность

в полярных координатах имеет вид . Тогда = (Площадь круга равна  

У нас ).

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика