Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.
Рис.9 Рис.10
Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

Пример Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.
Рис.11 Рис.12

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен Вычислим полученные три интеграла отдельно. Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно, (Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте). Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен Наконец, вычислим третий интеграл. Таким образом, объем тела равен

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции - непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть - непрерывная на функция. Тогда

Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Лабораторная работа №3. Вычисление площади поверхности.

Если поверхность задана уравнением  и её проекция на плоскость  есть область D, то площадь поверхности вычисляется по формуле  или . .

  Аналогично, если поверхность задана уравнением , то 

, где  проекция поверхности  на плоскость . Если уравнение поверхности имеет вид   то , где  проекция поверхности  на плоскость .

 

 

Пример 6. Найти площадь части конуса , заключённой внутри цилиндра Находим частные производные из уравнения конуса: ; .

Областью интегрирования D является круг, ограниченный окружностью   или , то есть центр окружности в точке (1;0) и радиус равен 1.

Двойной интеграл удобнее считать в полярных координатах. Окружность

в полярных координатах имеет вид . Тогда = (Площадь круга равна  

У нас ).

Геометрические приложения криволинейных интегралов