Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Решение. Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа получаем
Рис.4 Рис.5

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Решение. Сначала определим точки пересечения двух заданных линий. Следовательно, координаты точек пересечения равны Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ: Получаем

 Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

=

=

Пример 4. Вычислить объём тела, вырезанного цилиндром  из шара .

Заметим, так как оба уравнения поверхностей содержат сумму квадратов , то удобнее перейти к цилиндрическим координатам    и

Уравнение сферы    или .

В силу симметрии тела можно ограничиться вычислением четвёртой части тела, расположенной в первом октанте. Область интегрирования – полукруг в первой четверти.

Геометрические приложения криволинейных интегралов