Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пример Вычислить интеграл , заданный в области .

Решение. Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y.

Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится.

Вычислить sin28013¢15¢¢.

 

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

 

10 = ;  280;

1¢;

;

 

рад

 

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим:  sinx = .

Лабораторная работа №2. Вычисление объёмов тел.

Объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью  и сбоку цилиндрической поверхностью вырезающей на плоскости  область D, вычисляется по формуле  

Объём области V можно находить и с помощью тройного интеграла

  или  в декартовых координатах,

  в цилиндрических координатах,

  в сферических координатах.

Во избежание возможных ошибок при вычислении объёма тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал бы представление о форме данного тела. Если же тело построить не удаётся, то можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим проекцию данного тела на одну из координатных плоскостей (область интегрирования двойного интеграла). Однако и в этом случае необходимо представить себе, какая поверхность ограничивает тело сверху.

Геометрические приложения поверхностных интегралов