Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Вычислить объем эллипсоида

Решение. Объем эллипсоида удобно вычислить используя обобщенные сферические координаты. Пусть Поскольку модуль якобиана при трансформации декартовых координат в обобщенные сферические координаты равен то, следовательно, Объем эллипсоида выражается через тройной интеграл: В силу симметрии эллипсоида, мы найдем объем 1/8 его части, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. При этом обобщенные сферические координаты будут изменяться в пределах: Итак, объем эллипсоида равен

Двойные интегралы в прямоугольной области Тройные и двойные интегралы при решении задач

Найти предел .

 

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

Методические указания к выполнению контрольных работ

Контрольная работа №5

Если поверхность  задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к поверхности   в точке , имеет вид

,

где   – частные производные

функции   по переменным , вычисленные в точке касания . При вычислении частной производной, например, по переменной , остальные переменные ( и ) считаются фиксированными (постоянными).

Нормалью к поверхности S в точке M0 называется прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности S в точке M0 .

Из определения нормали следует, что нормальный вектор = (A;B;C) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Следовательно, канонические уравнения нормали к поверхности S в точке M0 будут иметь вид

  .

Геометрические приложения поверхностных интегралов