Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла. В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Пример Вычислить двойной интеграл в области .

Решение. Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен

  К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

  Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

  Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

  Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 

1)       - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

2)       - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

3)       - интегральный логарифм

4)       - приводится к интегральному логарифму

5)       - интегральный синус

6)       - интегральный косинус

Пример. В ящике 10 деталей, из которых 6 окрашенные. Наугад взяли 5 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей две детали окрашенные.

Решение. Случайный эксперимент состоит в том, что наугад из 10 деталей берут 5 деталей. Слово «наугад» означает, что все исходы этого случайного эксперимента равновозможны, и поскольку число их конечно, то для нахождения вероятности случайного события А = {среди пяти взятых деталей две детали окрашенные} используем классическое определение вероятности.

Число m(W) всех элементарных исходов этого случайного эксперимента равно числу способов выбора 5 деталей из 10. Поскольку выбор без возвращения и неупорядоченный, то

Случайное событие А наступит, если будут взяты две окрашенные и три неокрашенные детали.  Число способов выбора двух окрашенных деталей из 6 окрашенных равно , а число способов выбора трёх неокрашенных деталей из 4 неокрашенных равно . Способы выбора окрашенных и неокрашенных деталей комбинируются друг с другом и, значит, число  Учитывая, что , а , получим

Ответ: .

Геометрические приложения поверхностных интегралов