Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).

Решение. Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть . Тогда . Следовательно,

Пример Вычислить интеграл , где область R представляет собой параллелограмм со сторонами , a − некоторый параметр.

Решение. Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси Ox). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен
Рис.9

Пример . Вычислить интеграл .

По первой формуле, полагая , получим:

.

Тогда

Интегралы вида вычисляют, используя формулы .

Классическое определение вероятности

Если случайный эксперимент имеет конечное число равновозможных исходов, то вероятность случайного события А определяется по формуле

 ,

где m(А) – число элементарных исходов случайного эксперимента, при которых случайное событие А наступает, m(W) – число всех элементарных исходов случайного эксперимента.

При подсчёте числа исходов полезны формулы комбинаторики. Пусть из n элементов выбирают k элементов. Сколькими способами это можно сделать? Ответ зависит от двух условий:

возвращаются выбираемые элементы в исходное множество или не возвращаются;

учитывается порядок выбираемых элементов или не учитывается.

Если выбираемые элементы не возвращаются в исходное множество и учитывается порядок выбора элементов (говорят, что выборка без возвращения и упорядоченная), то число способов выбора k элементов из n элементов называют числом размещений из n элементов по k и обозначают . Это число вычисляется по формуле

Если же выборка без возвращения и неупорядоченная, то число способов выбора k элементов из n элементов называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают . Это число вычисляется по формуле

  ,

где 1£ k £ n , при k = 0 число  = 1.

Имеется свойство: .

Геометрические приложения поверхностных интегралов