Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Решение. Область интегрирования изображена выше на рисунке 6. Найдем точки пересечения прямой и параболы. Следовательно, линии, ограничивающие область R, пересекаются в точках (−3,−6) и (1,2). Тогда исходный двойной интеграл равен

Пример Найти интеграл , где область R ограничена линиями .

Решение. Область интегрирования описывается множеством и показана ниже на рисунке 7. Двойной интеграл равен Для вычисления последнего интеграла сделаем замену Если x = 0, то z = 0. Соответственно, при x = 1 имеем z = 1. Тогда интеграл легко вычисляется:
Рис.7Рис.8

Пример Вычислить .

Используя первую формулу, получим:

Интегралы вида вычисляют, используя формулу и метод подведения под знак дифференциала.

Контрольная работа №8

К задачам 411 – 430. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного эксперимента. Так называют эксперимент, исходы которого невозможно предсказать. Предполагается, что результатом случайного эксперимента может быть только один какой-то исход. Чтобы подчеркнуть это предположение, исходы случайного эксперимента называют элементарными. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента будем обозначать буквой W. Любое событие, связанное со случайным экспериментом, называется случайным событием. Случайному событию можно сопоставить множество элементарных исходов А, которое является подмножеством множества W. Элементарный исход w Î А тогда и только тогда, когда случайное событие, которому сопоставлено множество А, наступает, если в случайном эксперименте наступает исход w.

Суммой случайных событий А и В называется случайное событие, обозначаемое А + В, которое наступает, если наступает хотя бы одно из этих событий.

Произведением случайных событий А и В называется случайное событие, обозначаемое А×В, которое наступает, если наступают оба эти события.

Противоположным событием случайному событию А называется случайное событие, обозначаемое , которое наступает, если событие А не наступает.

Достоверным событием называется событие, которое происходит при каждом проведении случайного эксперимента и обозначается W. Противоположное событие к достоверному называется невозможным и обозначается Æ.

Случайные события А и В называются несовместными, если они не наступают одновременно, т.е. А×В = Æ.

Каждому случайному событию А можно сопоставить по некоторому правилу число, которое называется вероятностью этого события и обозначается Р(А). Вероятность, как функция, определённая на множестве всех случайных событий, должна удовлетворять трём аксиомам:

А1) вероятность любого случайного события неотрицательна;

А2) вероятность достоверного события равна единице;

А3) вероятность суммы конечного или счётного числа  попарно несовместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Запишем аксиому А3 для двух случайных событий: если случайные события А и В несовместны, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Используя аксиомы, можно доказать следующие свойства вероятности:

Р(Æ) = 0;

Р() + Р(А) = 1;

0 £ Р(А) £ 1;

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В).

Геометрические приложения поверхностных интегралов