Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .

Решение. Область R представляется в виде множества (рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси Oy). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:

Пример Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R ограничена графиками функций .

Решение. Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая и линейная функция пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен
Рис.3 Рис.4

Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

 

=

=

Вычисление криволинейного интеграла по пространственной кривой

Пусть задано векторное поле

.

Криволинейный интеграл по пространственной кривой

сводится к определенному интегралу, если в уравнениях кривой   две координаты выразить через третью, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл.

  – пределы интегрирования в определенном интеграле.

Вводятся следующие понятия.

Оператор Гамильтона – символический вектор  (набла):

;

дивергенция вектора  – функция

;

ротор вектора  – векторное произведение векторов  и :

.

Если  , то поле   называется соленоидальным, если   – потенциальным.

Потенциал векторного поля 

Если ,  то поле  является потенциальным,  т.е. существует потенциал вектора  – функция , удовлетворяющая условию

,

т.е.

.

Чтобы найти потенциал , нужно вычислить криволинейный интеграл

по любой линии, соединяющей точки  и в окончательном ответе  заменить малыми буквами .

В качестве линии интегрирования удобно взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат, а за точку  выбрать начало координат , если поле  определено в этой точке.

Запишем уравнения звеньев ломаной и найдем дифференциалы функций, полученных из уравнений звеньев.

 

z

 

y

 

О

 

C

 

B

 

x

 

Рис. 11

 

Геометрические приложения поверхностных интегралов