Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

Решение. Область интегрирования R задана множеством и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный: Вычислим сначала внутренний интеграл. Теперь найдем внешний интеграл.
Рис.1Рис.2

Интегрирование рациональных дробей.

 

Т.к.  (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

 

 

 

 

 

  

 

Итого:

Вычисление криволинейного интеграла

по плоской кривой

Криволинейный интеграл по плоской кривой

сводится к определенному интегралу, если из уравнения кривой   выразить одну координату через другую, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл. Пределы интегрирования –   и .

Для горизонтальной прямой  , для вертикальной – , .

Формула Грина

Формула Грина

выражает циркуляцию векторного поля  по замкнутому контуру (криволинейный интеграл по замкнутому контуру) через двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром.

Пример. 

Вычислить 

где   есть треугольник ;

а) непосредственно и б) по формуле Грина.

 


.

а)  ,

,

,

  .

 


б)

.

.

.

 .

Или

.

Геометрические приложения поверхностных интегралов