Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций . При этом выполняются неравенства и для всех . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле

Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций при условии, что и для всех . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

  Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

Объём тела

Если функция z = f (x ; y) непрерывна и неотрицательна на области D, то объём тела, ограниченного поверхностью, заданной функцией z = f (x , y) , плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Oz и проходящими через граничные точки области D, равен двойному интегралу .

  При нахождении объёма тела, ограниченного данными поверхностями, нужно найти проекцию этого тела на координатную плоскость Oxy, т.е. найти область D, затем найти функцию z = f (x , y) и вычислить двойной интеграл . Если область D – часть круга, то при вычислении двойного интеграла следует перейти к полярным координатам. Если тело ограничено сверху двумя поверхностями (см. пример 382), то его нужно разбить на две части так, чтобы каждая часть была ограничена сверху только одной поверхностью. Объём каждой части нужно вычислить с помощью двойного интеграла, а затем сложить результаты.

Пример. С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями , y = 0, z = 0 и x + y + z = 2.

Решение. Уравнения  и y = 0 не содержат переменной z, они задают цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси Oz. Плоскости z = 0 и x + y + z = 2 ограничивают данное тело соответственно снизу и сверху, пересекаются по прямой x + y = 2 в координатной плоскости Oxy. Значит, область D (проекция данного тела  на координатную плоскость Oxy) будет ограничена линиями ,  y = 0 и x + y = 2.

Построим область D (рис. 8). Заметим, что линии   и x + y = 2 пересекаются в точке А(1; 1).

Из уравнения x + y + z =2 находим  z = 2 – x – y , т.е. f (x, y) = 2 – x – y.

 

.

  Ответ: 0,85.

Геометрические приложения поверхностных интегралов