Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в полярных координатах

Пример Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой (рисунок 6).

Решение. Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

Пример Вычислить интеграл в круге .

Решение. Область интегрирования R показана на рисунке 7.
Рис.7 Рис.8

Преобразуем уравнение окружности следующим образом: Подставляя , найдем уравнение окружности в полярных координатах. Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.

Найти полный дифференциал функции

К задачам 431 − 450.

Случайная величина Х − это функция, определенная на множестве элементарных исходов Ω случайного эксперимента, и принимающая значения во множестве действительных чисел.

.

Если случайная величина, имеет конечное или счетное число значений, то она называется дискретной. Чтобы задать закон распределения дискретной случайной величины Х, нужно указать все значения хi этой случайной величины и вероятности рi = Р(Х = хi) наступления случайных событий {Х = хi}, i = 1, 2 ,3, … Если все эти вероятности заданы правильно, то их сумма равна 1.

Пусть случайная величина Х имеет конечное число значений х1, х2, … , хn и Р(Х = хi) = рi , i = 1, 2 , … , n , тогда математическим ожиданием случайной величины Х называется число, обозначаемое М(Х) и определяемое формулой

  .

Математическое ожидание случайной величины Х определяет центр, около которого расположены значения этой величины. Разброс значений относительно этого центра характеризуется другой числовой характеристикой, которая называется дисперсией и определяется формулой

  .

Для вычисления дисперсии можно использовать формулу

  ,

где число  называется вторым моментом случайной величины Х. Значит, дисперсия случайной величины равна разности второго момента и квадрата математического ожидания этой случайной величины.

Геометрические приложения поверхностных интегралов