Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в полярных координатах

Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Решение. Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу получаем

Пример Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями и .

Решение. В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):
Рис.5 Рис.6
Тогда, используя формулу находим значение интеграла

Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости

Пусть область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащем в ограничиваемая контуром область также целиком содержится в .

Пример односвязной области: круг.

Пример неодносвязной области: круг с выколотой точкой. содержит выколотую точку, а - нет, следовательно не входит в целиком.

Теорема 1. Пусть - односвязная область, . Условие, что равносильно тому, что всюду в этой области .

Доказательство.

  1. . Если всюду в выполнено равенство , то по формуле Грина .
  2. . Предположим, что в области есть точка , в которой . Пусть, для определенности, . Тогда существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим

.

По формуле Грина . Это противоречит предположению о том, что должен быть равен 0.

 Пример. В ящике пять деталей, изготовленных на заводе №1, и четыре детали, изготовленных на заводе №2. Каждая деталь завода №1 не имеет дефектов с вероятностью 0,8 , а каждая деталь завода №2 − с вероятностью 0,9. Наугад взятая деталь не имеет дефектов. Найти вероятность того, что взятая деталь изготовлена на заводе №1.

 Решение. Рассмотрим случайные события

А = {взятая деталь не имеет дефектов},

Н1 = {взятая деталь изготовлена на заводе №1},

Н2 = {взятая деталь изготовлена на заводе №2}.

  Нужно найти вероятность того, что взятая деталь изготовлена на заводе №1 при условии, что она не имеет дефектов, т.е. найти условную вероятность Р(Н1|А).

 Случайные события Н1 и Н2 несовместны и образуют полную группу, т.е. в случайном эксперименте (наугад берут деталь) всегда наступает одно из этих событий. Значит, условную вероятность Р(Н1|А) можно найти по формуле Байеса, а вероятность случайного события А по формуле полной вероятности

.

  Используя классическое определение вероятности, найдем

.

Из условия задачи  и . Следовательно,

  , .

Ответ: .

Геометрические приложения поверхностных интегралов