Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2
Якобиан такого преобразования имеет вид Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2): Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!
Рис.3 Рис.4

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда, поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

Случайные события А и В называются независимыми,  если Р(А×В) = Р(А)Р(В).

Случайные события А1, А2, …, Аn называются независимыми, если для любого набора событий , 1 £ i1 << ik £ n, 2 £ k £ n, вероятность произведения этих событий равна произведению вероятностей этих событий. Из этого определения следует, что вероятность произведения любого числа независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. Стрелки стреляют по одному разу в мишень. Вероятности попадания в мишень у первого, второго и третьего стрелка соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что будет только два попадания в мишень.

Решение. Рассмотрим случайные события:

А  = {только два попадания в мишень},

Аi = {i-ый стрелок попал в мишень},

Bi = {промахнулся только i-ый стрелок},

i = 1, 2, 3.

.

Случайные события , А2, А3 являются независимыми, так как связаны с независимыми случайными экспериментами, поэтому Р(×А2×А3) = =Р()Р(А2)Р(А3). Аналогично получим, что Р(А1××А3) = Р(А1)Р()Р(А3) и Р(А1×А2×) = Р(А1)Р(А2)Р().

Поскольку сумма вероятностей противоположных случайных событий равна 1, то Р() = 0,3; Р() = 0,2 и Р() = 0,1. Следовательно,

Р(А) = 0,3 × 0,8 × 0,9 + 0,7 × 0,2 × 0,9 + 0,7 × 0,8 × 0,1 = 0,378.

Ответ: 0,378.

Формула полной вероятности и формулы Байеса

Пусть наступление случайного события А влечёт наступление одного из попарно несовместных случайных событий Н1, Н2,…,Нn, и Р(Нi) > 0, i = 1,…, n, тогда справедлива формула полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)Р(АïН1) + Р(Н2)Р(АïН2) +… + Р(Нn)Р(АïНn),

а также формулы Байеса:

Р (НiïА) = , i = 1, 2, …, n,

в которых Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

 

Геометрические приложения поверхностных интегралов