Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Производная сложной функции

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку . Тогда или . С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:

Пример Найти интеграл .

Решение. Перепишем интеграл в виде Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл как Используя замену получаем ответ

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем следующую подстановку: Следовательно,

Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра. Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .

Условная вероятность. Независимость событий

Если Р(А) > 0, то условной вероятностью случайного события В при условии, что случайное событие А наступило, называется отношение  и обозначается Р(ВïА).

Из формулы Р(ВïА) =   получается формула

Р(А×В) = Р(А)×Р(ВïА),

которая называется формулой умножения вероятностей. Формулу умножения вероятностей можно записать для большого числа случайных событий, например, для трёх:

Р(А×В×С) = Р(А×В) Р(СïА×В) = Р(А)Р(ВïА)Р(СïА×В).

Пример. В ящике 8 окрашенных деталей и две неокрашенные. Найти вероятность того, что три наугад взятые детали будут окрашенными.

Решение. Рассмотрим случайные события:

А  = {три взятые детали окрашенные},

А1 = {первая взятая деталь окрашенная},

А2 = {вторая взятая деталь окрашенная},

А3 = {третья взятая деталь окрашенная}.

Поскольку А = А1×А2×А3, то Р(А) можно вычислить, используя формулу умножения вероятностей:

Р(А) = Р(А1)Р(А2ïА1)Р(А3ïА1×А2).

По условию детали берут наугад, поэтому для вычисления вероятностей в правой части формулы можно использовать классическое определение вероятности: ; после того, как взяли одну окрашенную деталь, в ящике осталось 9 деталей, из которых 7 деталей окрашенные. Значит, Р(А2ïА1) =  и, аналогично рассуждая, получим, что Р(А3ïА2) = .

Следовательно, искомая вероятность

.

Ответ: .

Геометрические приложения поверхностных интегралов