Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Производная сложной функции

Пример Продифференцировать .

Решение. Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du

Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования.

Пример Вычислить .

Решение. Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: .

При этом якобиан равен .

Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Якобиан преобразования равен (разложение по 3-й строке) (выделим общие множители у столбцов) .

 

К задачам 361 − 370.

Представление определённого интеграла числовым рядом

Чтобы определённый интеграл  представить числовым рядом, нужно подынтегральную функцию y = f (x) разложить в ряд Маклорена:

а затем почленно проинтегрировать полученный степенной ряд на отрезке . Если степенной ряд сходится при , то полученный после интегрирования числовой ряд тоже сходится, и его сумма будет равна . При решении этой задачи можно использовать известные ряды Маклорена для элементарных функций, а именно:

Геометрические приложения поверхностных интегралов