Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 (рисунок 4).

Решение. Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в виде Если положить z = 0, то получим
Рис.4 Рис.5
Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x, как показано на рисунке 5. Объем тетраэдра будет равен

Геометрические приложения криволинейных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

Интеграл вида  если функция R является нечетной относительно cosx.

 

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

 

Функция  может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом

1) Пусть требуется решить дифференциальное уравнение

при начальном условии .

Обозначим , тогда .

Найдем изображение левой и правой частей данного уравнения:

.

Получим уравнение 1-ой степени относительно . Решив его, найдем . Зная , находим его оригинал . Это и есть искомое частное решение.

2) Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка.

при начальных условиях .

Обозначим 

тогда 

.

Найдем изображение обеих частей данного уравнения:

.

Из полученного уравнения находим  и затем  – искомое решение.

3) Система линейных уравнений имеет вид:

Начальные условия: .

Обозначим   и найдем изображения обеих частей каждого уравнения системы. Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, найдем  и , а затем их оригиналы  и . Это и будет искомое решение.

Геометрические приложения поверхностных интегралов