Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 (рисунок 4).
Решение. Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в видеЕсли положить z = 0, то получим
![]()
Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x, как показано на рисунке 5. Объем тетраэдра будет равен
Рис.4 Рис.5
![]()
Геометрические приложения криволинейных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач
Интеграл вида
если функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
Функция
может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом
1) Пусть требуется решить дифференциальное уравнение
при начальном условии
.
Обозначим
, тогда
.
Найдем изображение левой и правой частей данного уравнения:
.
Получим уравнение 1-ой степени относительно
. Решив его, найдем
. Зная
, находим его оригинал
. Это и есть искомое частное решение.
2) Рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка.
при начальных условиях
.
Обозначим
,
тогда
,
.
Найдем изображение обеих частей данного уравнения:
.
Из полученного уравнения находим
и затем
– искомое решение.
3) Система линейных уравнений имеет вид:
Начальные условия:
.
Обозначим
![]()
и найдем изображения обеих частей каждого уравнения системы. Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, найдем
и
, а затем их оригиналы
и
. Это и будет искомое решение.