Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)

! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример Найти производную функции .

Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

Пример Найти производную функции .

Решение. Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна . Тогда

Криволинейный интеграл 1-го рода

Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.

Тогда длина кривой выражается формулой .

Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть - длина кривой .

Диаметр d(T) определим как .

Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму , называемую интегральной.

К задачам 351 − 360.

Область сходимости степенного ряда

Областью сходимости степенного ряда

является интервал сходимости , включая, возможно, и концы этого интервала.

Радиус сходимости находится по формуле

.

Внутри интервала сходимости  ряд абсолютно сходится, вне интервала – расходится (рис. 1).

 


На концах интервала, при  и , ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

Если  , то ряд сходится абсолютно при всех , т.е. на всей числовой прямой; при  ряд сходится в единственной точке  .

Если степенной ряд записан по степеням :

,

то внутри интервала сходимости  надо заменить на :

,  т.е. .

При значениях  ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

Геометрические приложения поверхностных интегралов