Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

  1. , где k - константа;
  2. Если в любой точке области U, то ;
  3. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и U2, то ;
  4. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка: где V - объем области интегрирования U.
  5. Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0 U, такая, что где V - объем области U.

Пример Оценить максимальное значение тройного интеграла где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R = 6. Решение. Уравнение шара имеет вид Используя свойство 6, можно записать где объем шара V равен Максимальное значение M подынтегральной функции равно Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:

Пример Оценить максимальное и минимальное значение тройного интеграла

где область U является параллелепипедом: Решение. Сначала вычислим объем области интегрирования U: Оценка интеграла выглядит как Здесь минимальное значение m подынтегральной функции равно Соответственно, максимальное значение M составляет Таким образом, оценка интеграла имеет вид

Формула Остроградского. Ее векторная запись

Теорема. Пусть - замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона . Пусть - функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда . Равносильная формулировка: , где - внешняя нормаль к .

Доказательство. Предположим, что ограничено сверху - графиком функции , снизу - , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим, т.к. на внешняя нормаль составляет с осью тупой угол.

Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое .

Итак, .

Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей и цилиндрической поверхности, то ,и, при аналогичных условиях, .

Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то .

Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел , разделенных гладкими поверхностями , причем эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть .

Тогда . Каждый из интегралов преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как , где взяты внешние стороны поверхностей .

Поверхности имеют общую часть , причем их внешние нормали на противоположны и интегралы по от взаимно сократятся, поэтому

К задачам 341 − 350.

Абсолютная и условная сходимость

знакопеременных рядов

Пусть дан знакопеременный ряд

,  ( 1 )

в котором некоторые члены положительны, а некоторые отрицательны.

Составим ряд (2) из абсолютных величин членов ряда (1):

( 2 )

Тогда: 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся;

2) если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

Если в знакочередующемся ряде с убывающими членами

  ,

,

то ряд сходится и его сумма .

Таким образом, для знакочередующегося ряда с убывающими членами необходимый признак сходимости является достаточным.

Примеры.  Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

1)  ( 1 )

Рассмотрим ряд  ( 2 )

Используя интегральный признак Коши, мы показали, что ряд (2) сходится. Поэтому ряд (1) является абсолютно сходящимся.

2)   ( 1 )

Рассмотрим ряд  ( 2 )

Ряд (2) расходится, т.к. это гармонический ряд.

Ряд (1) сходится по признаку Лейбница, т.к.

.

Поэтому ряд (1) является условно сходящимся.

Геометрические приложения поверхностных интегралов