Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Определение и свойства тройных интегралов

Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда (рисунок 1).
Рис.1

Пусть множество чисел {x0, x1, ..., xm} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz: Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением имеет вид Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi−1, xi)×(yi−1, yi)×(zi−1, zi), а приращения равны Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю: Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед , включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:

Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля

Скалярное и векторное поле.

Определение.Скалярное поле на области (Курс лекций математического анализа) представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях C.

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

Векторное полена области (или ) – это вектор, координаты которого Курс лекций математического анализаявляются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезкаопределяется аналогично и для . Напоминаем: величинаотрезка представляет собой его длину со знаком "+", если векторы и одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: , где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.

Интегральный признак Коши

Пусть в ряде с положительными убывающими членами

-ый член ряда определяется формулой

,

где  - непрерывная, положительная и убывающая функция на промежутке . Тогда несобственный  интеграл  и числовой ряд  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

3. Признак сравнения рядов

Пусть даны два ряда с положительными членами, и члены первого ряда меньше соответствующих членов второго:

  ( 1 )

 ( 2 )

  ( 3 )

Тогда:

1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится,

2)  если ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

Итак, если члены данного ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный ряд тоже сходится. Если члены данного ряда больше членов расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится.

Примеры.  Исследовать ряд на сходимость.

1) 

, функция  является непрерывной, положительной и убывающей на . Применим интегральный признак Коши.

.

Несобственный интеграл  сходится, следовательно, данный числовой ряд сходится.

2) 

.

Используем признак Даламбера. В формуле для  заменим  на :

.

.

,  ряд сходится.

3)  ( 1 )

Сравним ряд (1) с рядом

( 2 )

Мы показали, что ряд (2) сходится по интегральному признаку Коши. Члены ряда (1) меньше членов сходящегося ряда (2). 

По признаку сравнения ряд (1) тоже сходится.

 

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика