Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Определение и свойства двойных интегралов

Свойства двойного интеграла Двойной интеграл обладает следующими свойствами:
  1. , где k - константа;
  2. Если в области R, то ;
  3. Если в области R и (рисунок 4), то ;
  4. Если на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то . Здесь означает объединение этих двух областей.

Пример Пусть R и S являются непересекающимися областями (рисунок 5). Известны значения двойных интегралов:

Оценить интеграл . Решение. Используя свойства двойных интегралов, получаем:

 Вычислить интеграл

Пример. Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого признака:

Составим формулу -го члена ряда.Заметим, что числители дробей, как и знаменатели, образуют арифметическую прогрессию.

-ый член арифметической прогрессии

,

где   – первый член,   – разность прогрессии.

Поэтому -ый член ряда

,

.

Необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости ряда

с положительными членами

1. Признак Даламбера

Пусть в ряде с положительными членами

  ,

.

Тогда: а) если  , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится.

При   надо использовать другой признак.

Геометрические приложения поверхностных интегралов