Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2
Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник (рисунок 2). Используя ряд чисел { x0, x1, ..., xm }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение где - некоторая точка в прямоугольнике и . Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю: Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как
Рис.3Рис.4
 
Рис.5

Пример. Найдем , где - модуль радиус-вектора.

и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции.

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому - нормаль к касательной плоскости в т. и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.

Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Пусть - векторное поле, - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль . Назовем - потоком вектораКурс лекций математического анализачерез поверхность в указанную сторону.

Контрольная работа № 7

Числовые ряды

К задачам 331 − 340. Числовой ряд

задается несколькими первыми членами или формулой -го члена .

Ряд называется сходящимся, если существует предел -ой частичной суммы:

.

Число   называется суммой ряда.

Если   не существует, то ряд называется расходящимся.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Рассмотрим ряд

 , ( 1 )

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

Если  , то ряд сходится и его сумма

.

Если  , то ряд расходится.

Ряд

  ( 2 )

называется гармоническим рядом.

Гармонический ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд  сходится, то

.

Если   (необходимый признак не выполняется), то ряд расходится.

Если   (необходимый признак сходимости ряда выполняется), то для исследования ряда на сходимость надо применить какой-нибудь достаточный признак.

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика