Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменной в определенном интеграле

Пример Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Решение. Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4). Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна Метод замены переменной Тройные и двойные интегралы при решении задач

Пример Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Решение. Найдем сначала уравнение стороны ОА (рисунок 5). Аналогично, получим уравнение стороны ОВ. Наконец, найдем уравнение третьей стороны АВ. Как видно из рисунка 5, площадь треугольника равна сумме двух интегралов:
Рис.5 Рис.6

Циркуляция. Ротор. Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл – работа силы вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .

Тогда и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определин ротор (или вихрь) этого поля: .

Легко проверить свойства ротора.

  1. , где под

понимаем векторное произведение.

К задачам 381 − 390.

Двойные интегралы

Двойной интеграл можно вычислить двумя способами:

Подпись:  Подпись: yПодпись: DПодпись:  Подпись: y .

Подпись: б)Подпись: a)Подпись: 0Подпись: DПодпись:  Подпись:  Подпись:  Подпись: xПодпись:  Подпись: bПодпись: aПодпись:  Подпись:  Подпись: 0

В первом случае область  лежит между вертикальными прямыми  и , а снизу и сверху ограничена линиями  и  (рис. 3, а).

Во втором случае надо провести горизонтальные прямые  и , между которыми лежит область , а  и  – уравнения линий, ограничивающих область  слева и справа (рис. 3, б).

Площадь плоской области

Если взять , то двойной интеграл дает площадь области интегрирования  :

.

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика