Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменной в определенном интеграле

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в виде Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет Следовательно, интеграл равен

Пример Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и . Замена переменных в двойных интегралах Тройные и двойные интегралы при решении задач

Решение. Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3). Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
Рис.3 Рис.4

Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

 

1.     

 

2.

3.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

.

 


.


График функции симметричен относительно начала координат (рис. 2). Функция нечетная: .

.

,  т.к.

 при 

.

Геометрические приложения поверхностных интегралов