Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Рис.1 Рис.2

  Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

Пример. Представить определённый интеграл  числовым рядом.

Решение. Запишем ряд Маклорена для функции  , используя ряд Маклорена для функции  при  .

Подставим  t = x2 , получим ряд Маклорена для подынтегральной функции :

  .

Полученный степенной ряд сходится при  , значит левую и правую часть последней формулы можно проинтегрировать на отрезке , получим:

Геометрические приложения поверхностных интегралов