Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в тройных интегралах

Пример Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Решение. Введем новые переменные Вычислим якобиан обратного преобразования: Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение: Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен Теперь легко вычислить объем тела:

Найти формулу для производной функции arctg. Определение двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

  Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 

 Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

 

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

 Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных

Для решения этих уравнений нужно знать методы понижения порядка дифференциального уравнения.

1. Если дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит явно функцию , т.е. имеет вид , то полагаем  , где  – функция от . Тогда , и получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка   относительно новой неизвестной функции .

Пример.  Уравнение  не содержит функцию . Обозначим , тогда . Подставляя в данное уравнение, получим . В этом уравнении можно разделить переменные:

,

.

Интегрируя, получим , откуда . Подставив , получим , тогда  и .

2. Если дифференциальное уравнение не содержит явно аргумент , т.е. имеет вид  , то полагаем , где  – функция от .

Тогда .  Получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка  относительно новой неизвестной функции .

Геометрические приложения поверхностных интегралов