Замена переменных в тройных интегралах
Пример Найти объем области U, заданной неравенствами 
Решение. Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом.
Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед
преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается
на произведение трех однократных интегралов. Сделаем следующую замену: 
Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена
неравенствами 
Объем тела равен 
Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные
x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан
обратного преобразования: 
Тогда 
Свойства двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач
Следовательно, объем тела равен
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
Уравнение вида 
называется линейным дифференциальным уравнением 1-го
порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая
. Тогда 
.
Подставляя в уравнение, получим
.
Найдем
функцию 
, удовлетворяющую уравнению 
. Тогда для функции 
получим уравнение 
. Если 
– его общее решение, то общее решение данного линейного
уравнения имеет вид 
.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Перепишем уравнение в виде
. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го
порядка. Ищем решение в виде , тогда . Подставляя в уравнение, получим
.
Для
получим уравнение 
.
Разделяем в нем переменные и интегрируем:
.
,
или 
.
Тогда для функции
получим уравнение
,
откуда
. Интегрируем обе части этого равенства:
.
Тогда
.
Ответ: 
.