Замена переменных в тройных интегралах
Пример Найти объем области U, заданной неравенствами
![]()
Решение. Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов. Сделаем следующую замену:
Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами
Объем тела равен
Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования:
Тогда
Свойства двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач Следовательно, объем тела равен
![]()
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
Уравнение вида
называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая
. Тогда
. Подставляя в уравнение, получим
.
Найдем функцию
, удовлетворяющую уравнению
. Тогда для функции
получим уравнение
. Если
– его общее решение, то общее решение данного линейного уравнения имеет вид
.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Перепишем уравнение в виде
. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Ищем решение в виде
, тогда
. Подставляя в уравнение, получим
.
Для
получим уравнение
. Разделяем в нем переменные и интегрируем:
.
, или
.
Тогда для функции
получим уравнение
,
откуда
. Интегрируем обе части этого равенства:
.
Тогда
.
Ответ:
.