Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в тройных интегралах

Пример Найти объем области U, заданной неравенствами

Решение. Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов. Сделаем следующую замену: Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами Объем тела равен Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования: Тогда Свойства двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач Следовательно, объем тела равен

  Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

  с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

Уравнение вида  называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Его решение можно найти в виде произведения двух функций, то есть полагая  . Тогда .  Подставляя в уравнение, получим

.

Найдем функцию , удовлетворяющую уравнению . Тогда для функции  получим уравнение . Если  – его общее решение, то общее решение данного линейного уравнения имеет вид .

 

 

Пример. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Перепишем уравнение в виде  . Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Ищем решение в виде , тогда . Подставляя в уравнение, получим

.

Для   получим уравнение .  Разделяем в нем переменные и интегрируем:

.

,  или .

Тогда для функции   получим уравнение

,

откуда  . Интегрируем обе части этого равенства: 

.

Тогда  .

Ответ: .

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика