Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Решение. Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6. Производная сложной функции Тройные и двойные интегралы при решении задач
Рис.6 Рис.7

Сделаем следующую замену переменных: Цель этой замены − упростить область интегрирования R. Найдем образ S области R в новых координатах u, v. Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан. так что Теперь можно вычислить двойной интеграл.

  Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Контрольная работа №6

Для решения дифференциального уравнения 1-го порядка  нужно сначала определить его тип, чтобы выбрать правильный метод решения. Разберем методы решения трех важнейших типов уравнений 1-го порядка.

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида .  Для нахождения общего решения нужно разделить переменные, то есть привести уравнение к виду  и проинтегрировать это равенство:

.

Пример. Покажем, как решается уравнение . Заметим, что если в левой части уравнения оставить только , то правая часть уравнения раскладывается в произведение двух множителей, один из которых зависит только от , другой – только от . Запишем  как отношение дифференциалов , получим , откуда . Для разделения переменных делим обе части равенства на , считая, что , откуда  или .

Обозначим  и потенцируем равенство:

,

,

,

.

Если  , то   и . Подставив  в первоначальное уравнение, получим , то есть  является решением нашего уравнения. Оно получится из равенства , если .

Значит, общее решение уравнения имеет вид , где  – произвольная постоянная.

Геометрические приложения поверхностных интегралов