Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в двойных интегралах

Пример

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Решение. Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5

 

Двойные интегралы в полярных координатах Тройные и двойные интегралы при решении задач Для упрощения области R сделаем замену переменных. Образ S области R определяется следующим образом: Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v. Отсюда следует Находим якобиан данного преобразования. Соотношение между дифференциалами имеет вид Теперь легко найти искомый интеграл:

Вычислить приближенное значение определенного интеграла

  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

  По формуле Симпсона получим:

  m

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  x

  -2

  -1

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  f(x)

2.828

3.873

  4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 

  Точное значение этого интеграла – 91.173

  Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

К задачам 321 − 330. 

1. При составлении дифференциального уравнения в задачах с физическим содержанием нужно помнить следующее:

1) скорость изменения некоторой физической величины  – это производная по времени ,  а ускорение – вторая производная ;

2) прямолинейное движение материальной точки массы  подчи-няется второму закону Ньютона  , где  – координата точки в момент времени   – сила, действующая на точку.

2. При составлении дифференциального уравнения кривой используется геометрический смысл производной ( дает нам угловой коэффициент касательной к кривой) или уравнение касательной, проведенной в некоторой точке , где  – координаты точки на касательной.

Пример. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;0) и обладающей тем свойством, что ордината точки пересечения касательной с осью  равна длине радиус-вектора точки касания.

Решение. Пусть искомая линия имеет уравнение , и пусть касательная проведена в некоторой точке  этой кривой. Тогда длина радиус-вектора  будет равна . Положим  в уравнении касательной , тогда  – ордината точки пересечения касательной с осью .  Из условия задачи получаем уравнение .

Перепишем уравнение в виде . Это однородное уравнение 1-го порядка. Положим ,  тогда . Получим дифференциальное уравнение , или . Разделяем переменные и интегрируем:

.

Подставим  :

  или .

Подставив  и , получим  и искомое уравнение . Его можно преобразовать:

.

Ответ:  .

Геометрические приложения поверхностных интегралов