Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Решение. Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что Двойные интегралы в произвольной области Тройные и двойные интегралы при решении задач
Рис.3 Рис.4
Заметим, что Следовательно, Таким образом, мы получаем Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше). Уравнение стороны можно переписать в виде Найдем якобиан. Следовательно, и двойной интеграл становится равным

Площадь поверхности

Двусторонние поверхности. Рассмотрим сначала поверхность , представляющую собой график функции (1), имеющей непрерывные частные производные для всех , где - область на плоскости.

У этой поверхности, очевидно, есть 2 стороны: верхняя и нижняя. Верхняя сторона может быть охарактеризована тем, что из двух возможных направлений нормали к этой поверхности в любой ее точке выбирается то, которое составляет с осью острый угол (нижней стороне, соответственно, отвечает тупой угол между нормалью и осью ).

Пусть - точка этой поверхности, т.е. .

Уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет вид (2).

Напомним, что в общем уравнении плоскости числа представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2), - координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке . Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей мы получим 2 единичных вектора (3) и .

Известно, что координаты единичного вектора (3) – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями соответственно, т.е. . Т.к. , то . Кроме того, заметим, что .

Отметим, что , поэтому верхней стороне соответствует вектор .

Пример. Решить задачу Коши :

 x (0) = − 1 , y (0) = 1.

Решение. Из второго уравнения системы выразим x:

  (1)

и подставим в первое уравнение, исключив неизвестную функцию x.

,

,

.  (2)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции y. Найдём общее решение этого уравнения.

Запишем характеристическое уравнение: k2 – 4k – 5 = 0. Его корни k1=5, k2= − 1. Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения .

Правая часть дифференциального уравнения (2) имеет вид , где a = 1, n = 1, т.е.  – многочлен первой степени. Значит, частное решение дифференциального уравнения (2) нужно искать в виде , где r = 0, т.к. число a = 1 не является корнем характеристического уравнения (см. указания к задачам 301 – 310). Найдём неопределённые коэффициенты А и В.

,

,

.

Подставляя в дифференциальное уравнение (2) и приравнивая коэффициенты при линейно независимых функциях, получим:

;

;

Таким образом,  − частное решение дифференциального уравнения (2), а  − общее решение этого дифференциального уравнения.

Вторую неизвестную функцию находим по формуле (1).

Запишем общее решение данной системы дифференциальных уравнений:

Из начальных условий находим постоянные c1 и c2.

Ответ. .

 

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика