Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .

Решение. Область R схематически показана на рисунке 1. Для упрощения интеграла выполним замену переменных. Полагая , получаем Следовательно, образ S области R имеет вид прямоугольника, как показано на рисунке 2.
Рис.1 Рис.2
Определим якобиан данного преобразования. Тогда Следовательно, дифференциал преобразуется следующим образом: В новых переменных интеграл вычисляется намного легче:

Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0

  Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

К задачам 311 − 320.

Для решения  линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

можно использовать метод исключения неизвестной функции. Если a12¹0, то из первого уравнения можно выразить неизвестную функцию y и подставить во второе уравнение, или наоборот, если a21¹0, то из второго уравнения выразить неизвестную функцию x и подставить в первое. Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решив которое, найдём одну неизвестную функцию. Другую неизвестную функцию находим с помощью формулы, использованной при исключении. Неизвестные функции будут зависеть от двух произвольных постоянных, которые находим из начальных условий.

Геометрические приложения поверхностных интегралов