Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:
  1. Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрирования R;
  2. Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных ;
  3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и .

Интегралы по поверхности 1 и 2 рода

Поверхностные интегралы 1-го рода. Пусть - двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Запишем характеристическое уравнение , откуда , . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

В правой части нашего уравнения стоит сумма двух функций  и . Частное решение , соответствующее правой части , нужно искать в виде , т.к.  – многочлен степени  поскольку число 0 является корнем характеристического уравнения. Частное решение , соответствующее правой части , ищем в виде  (в данном случае , это число не является корнем характеристического уравнения). По принципу наложения частных решений . Находим производные:

,

.

Подставив в данное уравнение, получим

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях. При , при , при , при . Из этой системы уравнений найдем, что  ,  ,  ,  . Подставив эти числа в  и сложив  и , найдем общее решение данного уравнения :

.

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям , дифференцируем :

.

Подставляем   в  и в , получаем:

откуда   и .  Значит,  – искомое частное решение.

Геометрические приложения поверхностных интегралов