Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Метод замены переменной

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл как Используя замену получаем ответ

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем следующую подстановку: Следовательно,

Геометрические приложения криволинейных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

 Найти предел .

 

;

 - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

 

;

 - применяем правило Лопиталя еще раз.

 

;

;

 

  Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка

 ( 1 )

равно сумме общего решения  соответствующего однородного уравнения

и какого-нибудь частного решения  неоднородного уравнения (1), то есть .

2. Если  – числа, то для нахождения  нужно определить корни  характеристического уравнения

.  ( 2 )

Если  действительные не равные друг другу корни , то ; если  , то ; если корни комплексные, , то .

3. Пусть правая часть  данного неоднородного уравнения (1) имеет вид

,

где   – многочлен степени .  Отметим, что при   – константа, а если , то  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно найти в виде

,

где   – некоторые коэффициенты, , если число  не является корнем характеристического уравнения (2) (и тогда ), , если один из корней уравнения (2) равен , другой не равен , если оба корня уравнения (2) равны .

Для случая, когда  частное решение  можно найти в виде

,

где   – некоторые коэффициенты;

, если  не является корнем характеристического уравнения (2) (и тогда ),

, если  является корнем уравнения  (2).

Коэффициенты () находят, подставляя функцию  и ее производные в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях полученного равенства.

4. Если в правой части уравнения (1) стоит сумма функций различного вида , то частное решение  равно сумме частных решений , где   – решение уравнения   (принцип наложения частных решений).

5. Константы  находят из начальных условий .

Геометрические приложения поверхностных интегралов