Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегрирование гиперболических функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Интегрируем по частям. Полагаем Интеграл принимает вид Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем Получаем Решая полученное уравнение относительно , находим ответ

Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки . Интегрирование иррациональных функций, содержащих и , рассматривается на странице

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример

ЗАДАНИЕ №8

Это задание относится к разделу «линейные операторы»; более подробно о линейных операторах (отображениях, преобразованиях) можно прочитать в [1] гл. 6, [2] §15 и найти решённые задачи этой темы можно в [3] гл. 5 §4.

Если в линейном пространстве R каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор , то говорят, что в пространстве R задан оператор A. Оператор A называется линейным, если для любых векторов  и  и любого действительного числа λ выполняются равенства:

Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор A линейным надо проверить, выполняются ли эти равенства.

Проверим, является ли оператор A линейным в R3

Возьмем два вектора  и

То есть оператор A является линейным, найдем его матрицу.

Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец , то есть , значит , ,

Вторая координата произведения:

   

Третья координата произведения:

   

Итак, матрица оператора

Найдем собственные значения линейного оператора:

(1-λ)·(1-λ)2-1·1=0

(1-λ)3=1

1-λ=1

λ=0

Оператор A имеет собственное значение λ=0 кратности 3.

Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

 положив

 получим:

Собственному числу  соответствует собственный вектор

Геометрические приложения криволинейных интегралов