Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегрирование гиперболических функций

Пример Найти интеграл .

Решение. По определению, и . Следовательно, Сделаем замену u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Подставив формулы и , получаем

Найти производную функции

 

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например. .

ЗАДАНИЕ №7

Следующие три задачи относятся только к студентам специальности ЭВМ.

Задача №7: Привести квадратичную форму  к каноническому виду; найти ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найти матрицу перехода к ортонормированному базису.

Квадратичной формой действительных переменных называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени. Если  - квадратичная форма переменных , а λ – какое-то действительное число, то .

Если n=2, то .

Матрица

у которой , называется матрицей квадратичной формы .

Т.к. А – симметричная матрица, то корни λ1 и λ2 характеристического уравнения

являются действительными числами.

Пусть   и

 

нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам λ1 и λ2 в ортонормированном базисе . В свою очередь векторы  образуют ортонормированный базис. Матрица

Является матрицей перехода от базиса  к базису . Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид:

Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму , (не содержащую членов с произведениями).

говорят, что форма приведена к каноническому виду.

Пример 1. Приведем к каноническому виду квадратичную форму .

; ; .

Составим характеристическое уравнение

=0 или .

; .

Определим собственные векторы

I)

;

Полагая что , получим , то есть собственный вектор .

II).

Полагая что , получим , то есть собственный вектор .

Чтобы нормировать векторы u и v, следует принять .

Итак, мы нашли нормированные собственные векторы

где  - ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Матрица перехода от ортонормированного базиса  к ортонормированному базису  имеет вид:

B=

Канонический вид квадратичной формы

Решите эту задачу самостоятельно:

Задача 7.1. Приведите к каноническому виду квадратичную форму

Подробнее можно об этом прочитать в [2], §23 и найти задачи на эту тему в [3] гл.5 §7.

Геометрические приложения криволинейных интегралов